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课堂练习：资本缓冲与破产概率

题目重述

简化设定：单位为百万美元。设年初股权为 E0E_0，下一年贷款损失为 LL，忽略其他收入、费用与税收：

E1=E0−L,破产条件：L>E0. E_1 = E_0 - L, \qquad \text{破产条件：} L > E_0.

问题 1

当 E0=5E_0 = 5 时，银行最多能够吸收多少贷款损失而不出现负股权？

由 E1=E0−L≥0E_1 = E_0 - L \ge 0 可得：

L≤E0=5. L \le E_0 = 5.

因此，银行最多能够吸收 500 万美元 的贷款损失而不出现负股权。

答：最多可吸收损失为 5\boxed{5}（百万美元）。

问题 2

假设贷款损失服从正态分布 L∼N(1,22)L \sim N(1, 2^2)。计算不同资本水平下银行下一年破产的概率。

已知：

  • 均值 μ=1\mu = 1
  • 标准差 σ=2\sigma = 2
  • 破产条件：L>E0L > E_0

标准化：

z=E0−μσ=E0−12. z = \frac{E_0 - \mu}{\sigma} = \frac{E_0 - 1}{2}.

破产概率为：

Pr⁡(L>E0)=Pr⁡(Z>E0−12)=1−Φ(z)=Φ(−z). \Pr(L > E_0) = \Pr\left(Z > \frac{E_0 - 1}{2}\right) = 1 - \Phi(z) = \Phi(-z).

计算结果

年初股权 E0E_0 标准化值 z=E0−12z = \dfrac{E_0 - 1}{2} 破产概率 Pr⁡(L>E0)\Pr(L > E_0) 百分比
5 5−12=2.00\dfrac{5 - 1}{2} = 2.00 1−Φ(2.00)≈0.02281 - \Phi(2.00) \approx 0.0228 2.28%
3 3−12=1.00\dfrac{3 - 1}{2} = 1.00 1−Φ(1.00)≈0.15871 - \Phi(1.00) \approx 0.1587 15.87%
1 1−12=0.00\dfrac{1 - 1}{2} = 0.00 1−Φ(0.00)=0.50001 - \Phi(0.00) = 0.5000 50.00%

结果说明

  • 当 E0=5E_0 = 5 时，资本缓冲较大，破产概率仅约为 2.28%；
  • 当 E0=3E_0 = 3 时，破产概率上升至约 15.87%；
  • 当 E0=1E_0 = 1 时，由于 E0E_0 正好等于期望损失，破产概率为 50%。

由此可见，资本水平越高，银行吸收损失的能力越强，破产概率越低。资本缓冲是银行抵御信用风险的重要安全垫。

附录：标准正态分布参考值

zz Φ(z)\Phi(z) 1−Φ(z)1 - \Phi(z)
0.00 0.5000 0.5000
1.00 0.8413 0.1587
2.00 0.9772 0.0228

注：以上概率值保留四位小数，与常用标准正态分布表一致。