小测复习 · Chapter 4

课程：期权波动率与对冲基金（赵林 · 光华管理学院）范围：期权定价理论　｜　★ = 高概率考点

1 影响期权价格的因素 ★★

1.1 六大因素

因素	符号	对看涨期权（Call）	对看跌期权（Put）
标的价格	$S$ （或 $S_T$ ）	正相关	负相关
行权价	$K$	负相关	正相关
隐含波动率	$\sigma$	正相关	正相关
剩余期限	$t$ 或 $T$	正相关（通常）	正相关（通常）
无风险利率	$r$	正相关	负相关
股息/分红	$D$	负相关	正相关

1.2 核心逻辑

期权价格 = 到期收益的概率加权折现（期望）。

任何能够增加「预期收益」的因素，都会增加当前期权价值；反之则减少。

1.3 快速判断表 ★

市场变化	看涨期权价值	看跌期权价值
标的价格升高	增加	减少
标的价格降低	减少	增加
波动率增加	增加	增加
剩余期限增加	增加	增加
无风险利率上升	增加	减少
股息增加	减少	增加

★ 波动率对期权价值永远为正：无论看涨还是看跌，波动越大，期权越有价值。

2 理论价值（Theoretical Value）★

2.1 定义

理论价值：交易者愿意现在支付、长期来看正好盈亏平衡的价格。
可看作 期望收益的现值。
期权定价的目的：利用理论定价模型决定期权的理论价值。

2.2 价格 vs 价值

概念	含义
价格	买卖证券实际支付/收到的金额
价值	证券应该值多少钱（主观判断）
公允价值	价格 = 价值时的价格

3 简单期望收益定价

3.1 彩票定价直觉

一张彩票：50% 概率获 1 元，50% 概率获 0 元。

\text{期望收益} = 50\% \times 1 + 50\% \times 0 = 0.5\text{ 元}

若价格 > 0.5：卖出彩票套利。
若价格 < 0.5：买入彩票套利。
公允价格 = 0.5 元。

3.2 单期看涨期权定价算例 ★

情景：行权价 $K=100$ ，半年后到期，年化利率 $r=4\%$ 。到期标的价格有 5 种可能，概率各 20%：

标的价格	80	90	100	110	120
概率	20%	20%	20%	20%	20%
看涨收益 $\max(S-K,0)$	0	0	0	10	20

\text{期望收益} = 10 \times 20\% + 20 \times 20\% = 6

\text{理论价值} = \frac{6}{1 + 4\% \times 0.5} \approx 5.88

考点：先算期望收益，再按无风险利率折现到当前。

3.3 一般公式

看涨期权到期期望收益：

\sum_{i=1}^{n} p_i \times \max(S_i - K, 0)

看跌期权到期期望收益：

\sum_{i=1}^{n} p_i \times \max(K - S_i, 0)

再折现即得理论价值。

4 风险与收益：并非只看期望

4.1 交易 A vs 交易 B

交易	结果	期望收益
A	每天固定拿 (100	)100
B	50% 拿 $400，50% 亏$ 200	$400×50% + (-$ 200)×50% = (100

结论：A 与 B 的期望收益相等，但两者 风险特征完全不同，不能简单认为等价。

这也解释了为什么期权定价不仅要算期望，还要处理风险（风险中性定价 / Delta 对冲）。

5 风险中性定价与 Delta 对冲 ★★

5.1 单期二叉树例子

当前股价 $S = 100$
下期可能涨至 $S_1 = 110$ （概率 $P_u = 60\%$ ）或跌至 $S_2 = 90$ （概率 $P_d = 40\%$ ）
行权价 $K = 105$ 的看涨期权，到期收益：上涨时 $5$ ，下跌时 $0$

按真实概率的期望收益：

60\% \times 5 + 40\% \times 0 = 3

再折现即可得到一个「真实概率定价」。

单期二叉树例子

5.2 Delta Hedging 思想

做市商卖出期权后，希望通过构造一个 对冲组合 消除不确定性。

组合 $P = V - xS$ ，其中 $V$ 为期权价值， $x$ 为 Delta。
关键假设：市场无套利机会。
通过调整标的资产头寸，使组合价值在小幅价格变动中保持不变。

核心：Delta 对冲让做市商不再依赖对未来涨跌概率的主观判断。

6 Black-Scholes-Merton 模型 ★★★

6.1 模型背景

论文发表于 1973 年，同年芝加哥期权交易所（CBOE）成立。
目前应用最广泛的欧式期权定价模型。
Fischer Black、Myron Scholes、Robert Merton 做出贡献；Scholes 与 Merton 获 1997 年诺贝尔经济学奖。

6.2 BSM 基本假设 ★

假设	内容
收益率分布	标的收益率服从正态分布，价格服从几何布朗运动
流动性	市场始终具有充沛流动性
Delta 对冲	可以无成本地进行连续 Delta 对冲
无套利	市场处于无套利均衡状态

6.3 期权价值的多变量函数

V(S_0, t; \sigma, \mu; K, T; r)

变量	含义
$S_0$	当前标的合约价格
$t$	当前时间
$\sigma$	波动率
$\mu$	标的预期收益率
$K$	行权价
$T$	到期时间
$r$	无风险利率

6.4 BSM 欧式看涨/看跌公式 ★★★

BSM 定价公式

c = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

p = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)

其中：

d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}

d_2 = \frac{\ln(S_0/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} = d_1 - \sigma \sqrt{T}

符号	含义
$c$	欧式看涨期权价格
$p$	欧式看跌期权价格
$N(\cdot)$	标准正态分布累积分布函数（CDF）
$S_0$	标的当前价格
$K$	行权价
$r$	无风险利率（连续复利）
$T$	到期时间（年化）
$\sigma$	波动率

★ 记忆点： $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$ ，看涨公式是「标的价格 × 风险调整概率 − 行权价现值 × 风险调整概率」。

7 二叉树模型（Binomial Model）

7.1 特点

离散时间模型，把标的资产价格变动简化为「上涨」或「下跌」两种路径。
适用于 美式期权（可在到期前任意时刻行权）。
BSM 可看作二叉树模型在步数趋于无穷时的极限。

7.2 与 BSM 的关系

模型	适用场景
BSM	欧式期权，闭式解，计算快
二叉树	美式/路径依赖期权，灵活性高

易混概念辨析 ⚠️

概念 A	概念 B	区别
真实概率定价	风险中性定价	真实概率定价用真实涨跌概率折现；风险中性定价用无风险利率折现，不依赖真实概率
理论价值	市场价格	理论价值是模型算出的公允值；市场价格由供需决定
Delta 对冲	无风险套利	Delta 对冲通过动态调整标的头寸消除风险；无套利是定价的前提假设
BSM 模型	二叉树模型	BSM 是连续时间闭式解，适合欧式；二叉树是离散时间数值解，适合美式
波动率 $\sigma$	预期收益率 $\mu$	BSM 中定价只依赖 $\sigma$ ，不依赖 $\mu$ （已被对冲掉）
期权价格	期权价值	价格是成交金额；价值是理论公允金额

可能的计算题清单 🧮

期望收益定价：给定到期标的价格分布与概率，计算看涨/看跌期权理论价值。
折现计算：将期望收益按无风险利率折现到当前。
Delta 对冲：给定单期二叉树，计算使组合无风险的 Delta 头寸。
BSM 公式代入：已知 $S_0, K, r, T, \sigma$ ，计算 $d_1, d_2$ 与期权价格（通常 $N(\cdot)$ 会给出）。
影响因素判断：给定市场变化，判断看涨/看跌期权价值变化方向。
价格 vs 价值辨析：解释为什么市场价格可能偏离理论价值。

参考教材章节

Natenberg《期权波动率与定价（第2版）》Ch.8–10
Hull《期权、期货及其他衍生产品》Ch.13、Ch.15