线性表

1. 回顾：时空权衡（Time-Space Trade-off）

问题抽象、数据抽象是算法设计的前提。
数据结构的初步设计往往先于算法设计。
除了正确性，还要考虑空间和时间效率。

2. 线性表的定义

线性表是具有前后关系的线性结构：

有唯一的开始节点（无前驱，有唯一后继）。
有唯一的终止节点（有唯一前驱，无后继）。
其余为内部节点（各有一个直接前驱和一个直接后继）。

特点

均匀性：同一线性表中元素类型相同。
有序性：元素之间存在前驱和后继关系。

主要属性

线性表的长度：通常指有效元素个数，不一定是声明的容量。
表头（head）：指向第一个元素的地址，不是第一个元素本身。
表尾（tail）：最后一个有效元素的地址。
当前位置（current position）：当前访问到的位置。

3. 顺序表

顺序表也称向量，采用定长一维数组存储。

注意：数组本身不等同于顺序表。数组只是实现顺序表的常见方式，也可以用来存图等其他结构。

主要特性

元素类型相同。
元素顺序地存储在连续存储空间中，每个元素有唯一索引。
通过首地址 + 下标即可随机存取任意元素。

Loc(k_i) = Loc(k_0) + c \times i, \quad c = \text{sizeof}(ELEM)

其中 $ELEM$ 是元素数据类型， $Loc(k_i)$ 表示第 $i$ 个元素的位置。

C 语言定义

struct SeqList {
    DataType *element;  // 或 DataType element[MAXNUM];
    int n;              // 当前元素个数
};

typedef struct SeqList *PSeqList;

在 32 位系统下该结构体占 8 字节，64 位系统下占 16 字节（指针 + int，可能有对齐填充）。

C++ 类定义示例

class arrList : public List<T> {
private:
    T* aList;
    int maxSize;
    int curLen;
    int position;
public:
    arrList(const int size){
        maxSize = size;
        aList = new T[maxSize];
        curLen = position = 0;
    }
    ~arrList(){
        delete[] aList;
    }
    void clear();
    int length();
    bool append(const T value);
    bool insert(const int p, const T value);
    bool delete(const int p);
    bool setValue(const int p, const T value);
    bool getValue(const int p, T& value);
    bool getPos(int &p, const T value);
};

基本运算复杂度

操作	复杂度	说明
按索引访问	$O(1)$	随机存取
插入	$O(n)$	需要移动后续元素
删除	$O(n)$	需要移动后续元素
查找值	$O(n)$	顺序查找

malloc 返回首地址；free 必须做，否则会造成内存泄漏。

4. 链表

链表通过指针表示元素之间的前后关系，不需要连续存储空间。

单链表节点定义

struct Node {
    DataType info;
    struct Node *link;
};

typedef struct Node *PNode;
typedef struct Node *PLinkList;  // 仅增强可读性，本质同 PNode

带头结点的单链表

始终存在一个头结点 head。
第一个有效节点是 head->next。
判空条件变为 head->next == NULL，简化边界处理。

删除节点

Node* temp = head->next;
head->next = temp->next;
delete temp;

虽然 head->next = temp->next; 一行就能完成逻辑删除，但不释放 temp 会造成内存泄漏。

插入与删除复杂度

若已知节点位置：插入 / 删除为 $O(1)$ 。
若不知道节点位置：需要先遍历找到位置，为 $O(n)$ 。

单循环链表

最后一个节点的 link 指向头结点。
插入和删除操作建议引入中间变量，降低理解难度。

5. 顺序表 vs 链表

特性	顺序表	链表
存储空间	连续	不连续
随机访问	$O(1)$	不支持
插入删除	$O(n)$	$O(1)$ （已知位置）
动态扩容	需要重新分配/搬移	动态方便
适用场景	数据相对静态、频繁查询	数据频繁增删

存储密度

数据结构实际占用内存中，真正数据所占比例。

设每个节点数据占 $E$ 字节，指针占 $P$ 字节，顺序表每个元素占 $D \cdot E$ 字节（ $D$ 为存储密度相关的系数），则：

n \cdot (P + E) > D \cdot E \rightarrow n > \frac{D \cdot E}{P + E}

当数据量足够大时，顺序表的存储密度优势才明显。

6. 双链表 + 循环链表

双链表每个节点额外保存前驱指针，便于双向遍历和删除。
循环链表首尾相连。
考试中记住定义和性质即可，不需要死记硬背代码。

7. 易混淆概念

头指针 ≠ 头结点
- 头指针：指向链表第一个节点的指针。
- 头结点：在第一个有效节点之前附加的节点。
随机读：顺序表的优势，链表只能顺序遍历。
查找某个值：顺序表和链表都是 $O(n)$ 的顺序查找。

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