绪论与复杂度分析

1. 课程定位

数据结构与算法（B） 是计算机基础课程之一，先修课程为编程语言 / 计算概论。课程强调：

具备一定编程能力，能熟练运用 C 语言。
培养抽象思维：把现实问题抽象成已有的数据模型和算法框架。
只要抽象得好，理论上都可以转化为现有算法去解决。

Niklaus Wirth（Pascal 之父）的名言：

数据结构 + 算法 = 程序

虽然当今软件开发中这句话被质疑，但其核心思想依然成立：

数据结构：研究信息在计算机中的表示问题。
算法：研究信息在计算机中的处理问题。

2. 计算机问题求解过程

分析：弄清问题，用语言清楚表述。
设计：建立程序系统结构，重点是算法设计和数据结构设计。
编码：采用适当的程序设计语言编写可执行程序。
测试和维护：发现并排除前面阶段产生的错误，测试通过后投入运行。

3. 数据结构三要素（背诵重点）

要素	含义
逻辑结构	定义结构中基本元素之间的相互关系。用二元组 $(D, R)$ 表示， $D$ 是数据元素有限集合， $R$ 是 $D$ 上关系的有限集。
存储结构	给出基本元素的存储方式，包括元素的表示和关系的表示。
数据的运算	结构的行为特征，体现为在存储结构上的具体实现算法。

数据的存储结构

顺序存储结构
链式存储结构
索引存储结构
散列存储结构

4. 指针回顾

指针类型指向某一内存单元的地址。64 位机器上，一个指针占 8 个字节。

常见操作：

分配地址、赋值（另一个指针的地址值、NULL）
比较两个指针地址
指针增减一个整数量（+1 跳过多少字节取决于指向对象大小）

关键符号：

&：取地址
*：声明指针 / 解引用
->：访问结构体/对象成员

int a;
int *pa;
pa = &a;  // 指针 pa 指向 a

指针需要声明数据类型，因为编译器要知道一次取多少个字节。

5. 顺序检索算法示例

int SeqSearch(int element[], int n, int key, int *pos){
    int i;
    for (i = 0; i < n; i++){
        if (element[i] == key){
            *pos = i;
            return 1;
        }
    }
    *pos = i;   // i == n，表示未找到
    return 0;
}

数据结构的思路是：把共性的东西抽离出来，不应该因为 int 变成 float 就重写一遍。

6. 案例：多叉路口交通信号灯管理

问题：对车辆可能行驶方向分组，使同组内方向可安全同时行驶。

抽象过程：

每个可能行进方向是一个元素。
不能同时行驶的方向之间连一条边。
同组内不能连边 → 本质上是图着色问题。

这就是数学建模：把实际问题抽象为已有问题，再去找对应算法。

7. 算法复杂性分析

数据结构需要：

一定空间存储每个数据项。
一定时间执行单个基本操作。

评价算法好坏的两个维度：

空间代价：不包括输入本身占用的空间，指算法额外需要的空间。
时间代价：基本操作的执行次数 $F(n)$ 。

大 O 表示法

若存在正常数 $c$ 和 $n_0$ ，使得当 $n \ge n_0$ 时， $T(n) \le c \cdot f(n)$ ，则称

T(n) = O(f(n))

大 O 只关注复杂性的量级，不关注系数。

常见量级关系（从大到小）：

O(2^n) \gg O(n^k) \gg O(n \log_2 n) \gg O(n) \gg O(\log_2 n) \gg O(1)

运算规则：

O(n^2) + O(n^3) = O(n^3)

最好、最坏、平均情况

算法基本操作执行次数往往与输入数据有关：

最坏情况：输入数据集最坏时基本操作最多执行次数。
平均情况：基本操作的平均执行次数。
最好情况：最理想输入下的执行次数。

注意："平均"需要明确概率测度。例如顺序查找若等概率分布，平均比较次数为 $N/2$ ；若未说明分布，则不能直接这么算。

8. 示例：冒泡排序

void Bubble_Sort(int a[], int n){
    int i, j, change = 1;
    for (i = n - 1; i > 0 && change; --i){
        change = 0;
        for (j = 0; j < i; j++){
            if (a[j] > a[j + 1]){
                swap(&a[j], &a[j + 1]);
                change = 1;
            }
        }
    }
}

额外空间：主要是 swap 中的临时变量。
时间复杂度：最坏 $O(n^2)$ ，最好 $O(n)$ （已有序时）。

9. 小结

数据结构 = 逻辑结构 + 存储结构 + 运算。
评价算法重点看时间复杂度和空间复杂度。
大 O 表示法描述的是增长趋势，忽略低阶项和常数系数。